Objekte im Raum

Punkt

Ein Punkt hat drei Komponenten:

$\overrightarrow{a} = (a_1|a_2|a_3)$

Gerade

Eine Gerade hat zwei Bestandteile:

$\overrightarrow{p}$ : Stützvektor

$\overrightarrow{u}$ : Richtungsvektor

Die Geradengleichung lautet somit : $g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u}$

Die beiden Vektoren müssen in der selben Dimension sein

Ebene

Eine Ebene hat drei Bestandteile:

$\overrightarrow{p}$ : Stützvektor

$\overrightarrow{u}$ : Spannvektor 1

$\overrightarrow{v}$ : Spannvektor 2

Man kann eine Ebene in drei Formen bzw. 4 Formen aufschreiben: ParaNoKo

Parameterform:

$E: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v}$

Normalenform:

$E : 0= \overrightarrow{n} \circ [\overrightarrow{x} -\overrightarrow{p}]$

$\overrightarrow{n}$ : Normalenvektor von u und v

Wenn man aus multipliziert (mit dem Skalarprodukt) erhält man die nächste Form

Koordinatenform:

$d = n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3$

$d = ax_1 + bx_2 + cx_3$

$d$ : Skalarprodukt vom Normalenvektor mit dem Stützvektor

Hesse´sche Normalenform

$d = \dfrac{n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 -b}{|\overrightarrow{n}|}$

Im Vergleich zur Koordinatenform benutzt man bei dieser Form den normierten Normalenvektor.

Also der Normalenvektor hat die Länge 1 .

Das erreicht man wenn man ihn durch seine Länge teil also $|\overrightarrow{n}|$.